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數學與程式 |
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邏輯思維 |
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邏輯的起源 |
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邏輯是個很抽象的名詞，這個詞彙最早源自於希臘，古希臘已經發展出訓練邏輯的方法，主要就是幾何原本，我們將古希臘的研究者稱為哲學家，因為在那時所有的科學都是哲學家們進行發展，包括了社會學、心理學、數學等等，在後續的發展中才逐漸演變出各式各樣的專門科學，所以我們一般也都將古希臘哲學稱為科學之母。 |
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邏輯（英語：logic）的字根源起於希臘語邏各斯（希臘語：λόγος），最初的意思有詞語、思想、概念、推理、論點之意。後譯為（法語：logique），最後發展為英文中的邏輯（英語：logic）。 |
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甚麼是邏輯 |
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以維基百科中的解釋，邏輯被說明如下: |
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邏輯（古希臘語：λογική；德語：Logik；法語：logique；英語：logic；義大利語、西班牙語、葡萄牙語: logica），又稱理則、論理、推理、推論，是對有效推論的哲學研究[1]。邏輯被使用在大部份的智能活動中，但主要在心理、學習、哲學、語義學、數學、推論統計學、腦科學、法律和電腦科學等領域內被視為一門學科。邏輯討論邏輯論證會呈現的一般形式，哪種形式是有效的，以及其中的謬論。 |
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邏輯通常可分為三個部份：歸納推理、溯因推理和演繹推理。 |
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在哲學裡，邏輯被應用在大多數的主要領域之中：形上學/宇宙論、本體論、知識論及倫理學。 |
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在數學裡，邏輯是指形式邏輯和數理邏輯，形式邏輯是研究某個形式語言的有效推論[2]。主要是演繹推理。 在辯證法中也會學習到邏輯[3]。數理邏輯是研究抽象邏輯關係和數學基本的問題。 |
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在心理、腦科學、語義學、法律裡，是研究人類思想推理的處理。 |
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在學習、推論統計學裡，是研究最大可能的結論。主要是歸納推理、溯因推理。 |
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在電腦科學裡， 是研究各種方法的性質，可能性，和實現在機器上。主要是歸納推理、溯因推理，也有在歸納推理的研究。 |
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從古文明開始（如古印度[註 1]、古中國[註 2]和古希臘）都有對邏輯進行研究。在西方，亞里斯多德將邏輯建立成一門正式的學科，並在哲學中給予它一個基本的位置。 |
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邏輯的簡單解釋 |
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到了這裡，邏輯這個詞彙仍然是充滿抽象的，我們可以試圖以更簡單的概念來說明，邏輯是甚麼: |
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邏輯是一步一腳印的思考。 |
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邏輯是一個蘿蔔一個坑的思考。 |
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邏輯是因為……所以……的思考。 |
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在邏輯的思考中，都一定有一個確定的理由，才會產生後續的結果，也就是我們一般所說的科學精神，在科學中所有的學科都講究這樣的邏輯概念，我們才能得到不變的真理，數學也自然必須符合這樣的邏輯精神。 |
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數學的思考邏輯 |
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我們將幾何學稱為數學之母，因為最早的數學是由幾何發展而來的，在幾何學中已經發展出了邏輯性的思考與驗證的方法，也經常被用來訓練邏輯思考。 |
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下面是幾何學中的畢氏定理(勾股定理)證明，畢氏定理目前有超過400種的證明方法，我們列舉了古希臘哲學家歐幾里得在幾何原本一書中證明的方法: |
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在這個證明中，我們可以看到每一個步驟，都是因為….所以….的論述方式，也就是一步一腳印地證明，完全以邏輯的思考方式來進行。 |
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程式的思考邏輯 |
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我們以氣泡排序法(Bubble Sorting)來說明程式中邏輯思考的例子。 |
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氣泡排序法是逐步地將相臨的資料互相比較，若發現前面的資料比後面的資料大時，就將資料互換。依次由左至右，會像氣泡般依次將最小的數字後往前浮起，最後所有的資料將會依照由小至大的順序排列。 |
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在這個例子中，我們需要整理出氣泡排序法的原則性，然後依照原則性推敲程式進行的各個步驟，也需要考慮在這樣的步驟中是否會發生錯誤的狀況，讓程式執行能夠完全正確，不會有錯誤發生。 |
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氣泡排序法的思考步驟: |
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氣泡排序法的流程圖 |
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撰寫程式時，我們會利用流程圖的方式來幫助我們整理思考，讓邏輯清晰而正確。 |
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下面的例子中，我們利用流程圖來一步一步地思考程式執行的步驟，並且容易看出可能的錯誤狀況。 |
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氣泡排序法的程式碼 |
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簡化運算、提升效率 |
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數列與級數 |
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我們經常使用的例子為加總，將若干項的數字累加計算出總和。 |
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在級數中，我們必須對每一項的數字累加計算，所以我們需要計算n次，才能得到結果。 |
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上面的級數經由數學的整理後，能夠得到一個加總的公式，在加總公式中，我們只需要進行3次的計算就能夠得到加總的結果。 |
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利用此類的數學公式，我們能夠以很少的計算次數，得到我們需要的結果。 |
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簡化的方程式 |
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典型的例子是傅立葉轉換(Fourier Transform)，數學上發展出很多種傅立葉轉換的計算方式，如離散傅立葉轉換(Discrete Fourier Transform，簡稱DFT)以及快速傅立葉轉換(Fast Fourier Transform，簡稱FFT)，這兩者需要的計算次數就差異很大，如下表示一個以硬體執行計算的例子，標示出DFT與FFT的計算次數，在執行512個輸入樣本數的情形下，DFT需要262144次的執行次數，FFT則只需要2304次。這表示使用FFT計算時只需要使用DFT時的1/113的時間 |
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實用的數學方法 |
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程式中為了某些特定的目的，會直接使用數學的模型來達成目的，例如我們需要計算加總，我們就會直接利用級數的加總公式，我們想要計算平均數，就會利用統計的各種計算平均值的公式，在撰寫程式的時候，我們可以利用各式各樣的數學公式，就能夠較為專注在程式的其他判斷或式處理上，讓撰寫程式變得更有效率。 |
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常見使用於程式中的數學 |
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以下列舉了一些較為常見使用在程式中的的數學領域，也是一般會在高中大學時學習到的數學，如果能夠對這些數學有更多了解，能夠大幅增加程式撰寫的功力。 |
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1.多元多次方程式 |
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2.三角函數 |
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3.級數 |
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4.微積分 |
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5.線性代數 |
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6.離散數學 |
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7.機率 |
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8.統計 |
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